Comment fabriquer et résoudre un taquin en papier ?

Le principe du taquin et le matériel à prévoir

Un taquin est une petite grille dont toutes les cases sont occupées par des pièces numérotées, sauf une : le trou. On ne peut pas soulever les pièces : on les fait glisser, une à la fois, dans la case vide qui touche leur côté. Le but est de retrouver l'ordre 1, 2, 3 et ainsi de suite, la case vide terminant en bas à droite. Les taquins du commerce, en bois ou en plastique, suivent exactement la même règle.

Pour la version papier, il vous faut du carton fin (une boîte de céréales fait l'affaire), une règle, un crayon, des ciseaux et un feutre. Comptez vingt minutes. Pas plus.

Fabriquer un taquin 3×3 et un taquin 4×4

Commencez par le cadre. Découpez un carré de carton pour le fond, puis collez sur ses quatre côtés des bandes de carton plus épaisses qui forment un rebord. L'intérieur doit être un tout petit peu plus large que la grille de pièces, juste de quoi les laisser glisser sans qu'elles se coincent ni se chevauchent.

Pour les enfants, prenez le format 3×3 : huit pièces de 4 cm de côté, donc un intérieur d'environ 12,5 cm. Les pièces sont assez grandes pour de petits doigts et la partie reste courte. Pour un public plus âgé, le classique 4×4 compte quinze pièces ; avec des pièces de 3 cm, l'intérieur du cadre mesure environ 12,5 cm lui aussi.

Découpez les pièces à la règle, car des bords inégaux accrochent, et écrivez les numéros gros, au centre. Un coup de crayon de couleur sur la première rangée aide les plus jeunes à se repérer. Vérifiez que chaque pièce circule dans le cadre avant de jouer.

Vous préférez une image ? Collez une photo ou un dessin sur le carton avant de découper, partagez-la en 9 ou 16 carrés égaux et retirez celui du coin en bas à droite : il laisse le trou. Écrivez un petit numéro au dos de chaque pièce, dans l'ordre de l'image, pour pouvoir appliquer plus loin le test des positions impossibles. Avant de mélanger, notez la disposition initiale ou prenez-la en photo : c'est la référence que les joueurs viseront.

Mélanger sans rendre la partie impossible

Ne retirez jamais les pièces pour les reposer au hasard. Faites-les glisser, au moins une trentaine de fois, dans tous les sens : le mélange reste alors toujours solvable, puisqu'il suffit de refaire les mouvements à l'envers. Ce qui rend une position impossible, c'est de la fabriquer en sortant deux pièces du cadre pour les échanger.

Résoudre rangée par rangée

C'est la méthode la plus facile à mémoriser. Vous construisez le taquin du haut vers le bas, sans jamais toucher à ce qui est fini.

1. Placez le 1 en haut à gauche, puis le 2 à côté. 2. Pour finir la rangée, il faut une astuce : mettez le dernier numéro à la place de l'avant-dernier, et l'avant-dernier juste en dessous. Sur un 4×4, le 4 occupe la troisième case du haut et le 3 se trouve sous lui. Amenez la case vide dans le coin en haut à droite, puis glissez le 4 vers la droite et le 3 vers le haut. La rangée est complète. 3. Faites de même pour la deuxième rangée d'un 4×4. 4. Réglez les deux dernières rangées colonne par colonne, avec la même astuce tournée d'un quart de tour. 5. Dans le dernier carré de 2×2, faites tourner les trois pièces autour de la case vide jusqu'à ce que l'ordre soit bon.

Il est normal de déloger une pièce déjà posée pour mieux la remettre. Une pièce à la fois, pas plus.

Un exemple fictif résolu en dix coups

Voici un 3×3 de départ. Le point représente la case vide.

2 4 3
8 . 5
1 7 6

Glissez dans l'ordre les pièces 8, 1, 7, 8, 4, 2, 1, 4, 5, 6, chacune dans la case vide voisine. Après le septième coup, la première rangée est déjà bonne :

1 2 3
. 4 5
7 8 6

Les trois derniers coups sont 4, 5 et 6, et la grille finale est :

1 2 3
4 5 6
7 8 .

Cette position compte dix paires inversées, un nombre pair : un 3×3 est donc possible (voir la section suivante). Dix coups est aussi le minimum pour cette grille. Vous n'avez pas besoin d'être aussi efficace.

Savoir si une position est possible

Une position sur deux ne peut pas être résolue. Pour le vérifier avant de s'acharner, lisez les numéros ligne après ligne, sans la case vide, et comptez les paires inversées : deux pièces dont la plus grande vient avant la plus petite.

• Sur un 3×3, la position est possible quand ce compte est pair. Si l'on échange les pièces 7 et 8 dans la grille résolue, le compte vaut 1 : impossible.
• Sur un 4×4, ajoutez au compte le numéro de la rangée de la case vide, comptée depuis le bas (1 pour la dernière rangée). La position est possible quand la somme est impaire.

Prenons ce 4×4 :

1 2 3 4
5 6 7 8
9 14 10 12
13 11 15 .

Il compte six paires inversées (14 devant 10, 12, 13 et 11, puis 12 devant 11 et 13 devant 11). La case vide est sur la dernière rangée, on ajoute 1, soit 7 : impair, donc possible. Six coups suffisent : 15, 11, 14, 10, 11, 15.

Cette règle explique une vieille énigme. Le jeu fait fureur aux États-Unis en 1880, et les mathématiciens William Johnson et William Story avaient publié dès 1879 la preuve que la moitié des positions sont impossibles. L'Américain Sam Loyd, qui se disait à tort l'inventeur du jeu (on cite plutôt Noyes Chapman, un receveur des postes de l'État de New York), a rendu célèbre une grille où seuls le 14 et le 15 sont inversés, avec 1 000 dollars à gagner pour qui la résoudrait. Un seul échange donne un compte de 1. Avec la rangée du bas, on obtient 2, un nombre pair. Personne ne pouvait la résoudre, et pour cause. Ce test de pair et d'impair ressemble à celui du contrôle de parité avec des cartes que vous pouvez essayer ensuite.

Un taquin pour la fête de famille

Le taquin fait un bon jeu d'attente : posez-en un sur chaque table ou donnez-le aux enfants pendant l'apéritif. Pour un défi entre cousins, mélangez deux taquins de la même façon en recopiant les coups sur une feuille, puis lancez la course. Gardez un exemplaire rangé à côté pour que chacun voie le résultat visé.

Un sudoku 4x4 tient sur un petit carré de papier et complète bien la table. Un petit bac occupe les plus grands pendant que les petits manipulent. Le folioscope en papier demande aussi très peu de matériel.